假寐之海

 

定义在 R 上的函数 f 满足 f(f(x))=exp(-x) ，证明 f(x) 必定不在 R 上连续。

有人问起了 Hardy 书上的东西，所以先写这个。   A-G不等式之前提起过两次了，在 这里 曾给出的调整法证明属于 Maclaurin，如你所见我用到了一些高级的工具来保证最大值确实在值域内，即值域最大的那头不是一个开的情况。这一步是必不可少的，这里的调整并不像“排序不等式”中所用的那样，是一个能断言有限步骤内完成的调整。每一次我们只是保持其它变元不动，把两个不同的变元拉平，但也许永远也不可能做到（也无法断言），按照某种调整法则，在某...

好像是一个考研题，原题是 x,y>0，求证 x^y+y^x>1。很明显主要难点在于 0<x,y<1 的部分。

第一次看到这个东西是在高三，老师问 &nbsp; 和它的反函数有几个交点，结果大家当然都被雷到了，实际上有 2^4=4^2=16 因此有 (1/4,1/2) 为其交点： &nbsp; 当然，这同时也就意味着在 y=x 的另一边，有着对称的一个交点 (1/2,1/4)： &nbsp; 回到方程，我们先限定 x&gt;0,y&gt;0 容易有 x,y 实际上是 &nbsp;...

果然是经久不衰的问题，最近又有人问了。两个问题的反例是一样的构造方法，就放在一起说了。要构造出反例，必须承认 选择公理 或 Zorn引理 ，从而当我们把 看成是 上的线性空间时，它允许我们选出无穷多个元素作为基底，使得每个实数都能写成 以有理数为系数 的有限个基底的线性组合，称为 Hamel基 。

 

不妨设 A 是 在 上的某  Hamel 基  ，于是



...

像上次一样，记 Jakob Bernoulli 曾经非常系统地研究过这个问题，详尽并且正确。不同的是如果用我们的记法，他所探讨的是 中 x 的系数。 从初等解法中就能感觉到系数这必定组合数学有关，此处用到了这里提到过的生成函数，对于第一次听到这个词的人来说，你只需要把它当成一个不需要考虑收敛域的幂级数即可。 考虑这个形式幂级数 如果我们对 k 求和（从0到x-1）...

其实我也是记不住公式的人，比如三角函数中得积化和差，不过幸好我能记得两角和与两角差得公式，于是可以现写一个 sin(x+y) 与 sin(x-y) 展开后加加减减看看。 某一天的早上我突然收到一条短信，我没看懂她表达的意思但是后来我知道了她想问的是1到n的平方和公式： 这个问题可以有很多答案，而最简单的答案之一就是利用裂项：用两个相邻的立方数相减，可以得到 ...

6 惟光的秘密

寻死的时候王子现身，并且还向自己搭话，这一定是上天的引导。惟光决定按照今日的约定，第二天也趁着朝阳升起的时候，赶在宫殿护城河边的慢跑道上等候铁人殿下。他去朋友家洗了个澡，换上寄存的演出服，离开了朋友家。他打算每天给王子表演一个节目。

对于惟光的表演，王子并没有什么兴趣，不过还是每个节目给了一百块的小费。惟光靠这点小费勉强生活，同时继续思考和练习为王子一个人表演的节目。王子是想通过晨跑寻找和市民非正式接触的机会，惟光碰巧得到了那份恩宠...

先放一个视频   是彭家贵的《微分几何》上得一个题，问题在这里被问过一次：http://zhidao.baidu.com/question/231276975.html?an=0&si=1&pt=monline_ik 说是“设T是E^3的一个合同变换，v和w是E^3的两个向量，求 T(v)^T(w) 和  T(v^w) 的关系。”   ...

一开始很不明白，为什么要用弧长s替换掉曲线原来的参变量t。后来想通了，其实这是在把一个“正则运动”（原谅我这么说）变成一个匀速率（更确切的说是速率为1）的曲线运动。 【这里采用和数学上一样的记法，对 t 求导用撇表示，而对 s 求导用点表示；尽管如此，我会尽量列出括号内的自变量。】 【当我说切向量时，就是在说速度；当我说速度时，就是在说切向量。】   对一般的正则曲线，可以认为参变量 t...

一般能用切线分析的都比较松，毕竟只是用了一阶导数

平衡取等才可以用，配的时候左边每一项都要一样大

proof：


Assum a=max{a,b,c}

 

取等条件为 a=2,b=1,c=0

kuing（友情链接里的最后一个）指出说可以加强到


此时取等条件多了一个(a,b,c)=(1,1,1)，从他博客上偷来一个更舒服的办法：

Assum b介于a、c之间，


由这个不等式利用支撑线可以构造出...

可能接下来会整理一些遇到过的不等式，讨厌明明似曾相识却不能一眼识得的感觉。

买了哈代的书，只看了几页就收获颇丰。比如积分形式的Cauchy-Schwarz不等式，一般数分上都会采用离散——取极限——积分，这样的套路，从数学上讲固然是最自然的，可是对不等式而言，极限的保号性会丢失掉取等条件。如果 a>b 两边取极限之后只能得到 a>=b，你就无法知晓极限过程是否添加了不可知的取等条件——尽管事实上我们知道，取等条件并没有变。

有些事就是这...

以这个微分方程作为例子



这个方程的解析解是很复杂的，可以放到wolfram算一下：http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%3D-y^3

不过用一些特殊的办法，我们一样可以了解到其解的性质。实际上这个方程有对应的物理模型的，想象一下一个质点被两根弹簧拉住，然后在水平方向作小幅度的振动，满足的就是这个方程。不过这里不仔细讲了，说一下右端的非齐次项也就是回复力，其中x^2来...

古典代数基本定理声称，一元复系数多项式至少有一个复根。这个定理很容易被“加强”为一个更常见的版本，若一个n次复系数多项式有一个根z1，那么它就有一个因式(z-z1)，将其除掉之后，成为一个n-1次的多项式，而这个多项式又有一个根z2……反复利用该定理，也就得到：一元n次复系数多项式有且仅有n个复根（计入重根）。

和多项式理论结合在一起，这个定理确实能实在地帮助我们：如果一个次数至多为n次的多项式有n+1个零点，那么这个多项式只能是零多项式。

这一事...

作为上一篇的一个补完，讲一下等根的情况和共轭复根的情况。

先说明一下两件事，用向量把高阶的东西化成低阶的不是差分方程的独有的。

比如说常微分方程   ，其实写法和数列一样的——记



偏微分方程也一样可以的，比如波动方程 ，还是记 ， 只是这时候是算子的矩阵



 

第二件事就是其实把这个矩阵对角化的...

不得不说我国的高中的数学教育就是牛逼，大部分人都早早地在中学就学会了二阶差分方程的求法。 高中就叫数列递推了，这次的主角就是它： 给定两个初值，然后同学们就立马 就出来了。。。所幸还知道这个叫特征方程，解出来的是特征值。 有一种想法还是不错的，就是已经会解一阶的了，其实就是等比数列嘛，然后就把二阶的想办法化成一阶的：，于是 容易看出来，s 和 r 就是它对应的特征根。注意两个初值在这里是不影响...

背景知识：维基页面（晶体），维基页面（布拉维晶格），英文维基（点阵群）

晶格在数学中的抽象即为点阵（整点、格点构成的集合）：

在三维空间中取一个坐标系 ，定义点阵为整数格点构成的集合：



 

定理（晶体对称性定律）：设是 决定的点阵，过上一点，有直线L，若点阵绕L旋转使得变到自身，则旋转角只可能是 之一。

 ...

这个齐次线性的方程组能干吗？答案是实现纠一位错的功能。 考虑当合法的编码只能从上述方程组Hx=0的基础解系中取出，于是我们的码容量就是基础解系的个数=未知数个数-独立方程数=7-3=4 原本4个码只需要2比特的信息即可：(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)，而现在用了7个比特，正是用线性方程组为其赋予一定的结构，从而实现纠错。 我们看一下它如何纠错：假设原本发回的信息应该为x，即 Hx=0，...

背景知识： 1.在这里曾经讲过一个小引理：对不满秩的n阶方阵A，当k充分大时，A+kI 是满秩的。 2.向量的范数：维基页面（范数），维基页面（1范数），Charlesgao页面（无穷范数） 3.矩阵的诱导范数：维基页面（矩阵范数） 此处只用了一下定义 &nbsp; 当时是用取行列式的方法，最近学了范数于是又想到了...

这是在两年前写的（上）：http://yjq24.blogbus.com/logs/45860323.html 这是在两年前些的（中）：http://yjq24.blogbus.com/logs/45897266.html 虽然很多事情我不是一个有始有终的人，但是其实我一直都没忘记要写&ldquo;下&rdquo;。

如果有人和我曾有相同的疑惑，希望这篇文章能帮到你。 &amp;#160; 1）磁链与磁通 有些教科书上是不说清楚的，磁通是 ，磁链是 ；磁通像电流一样贯穿空间，而磁链像电压一样是针对元器件两端而言的， 。 &amp;#160; 2）电感 根据电磁场计算，电感的大小一般是和电感线圈的匝数的平方成正比，环绕面积成正比，和电感长度成反比， 。 ...

 

理性人是经济学最有意思的模型之一，他们关心代价和效用，尽量以最少的代价换取最大的效用（亦即当边际成本=边际收益时）。就像理想气体与真实气体的关系一样，理性人是一种用以描述和预测人们行为的模型。然而有趣的是，这次被描述的是一个个具有主观能动性的个体，这多少激发起了一些人的“叛逆精神”，从而搬出感性大旗。

毫不避讳得说，每个人都有感性的部分，而且当两者起冲突时，大部分时候是感情战胜了理智。然而，认为理性人假设不合理的人也许没有注意到，感情...

嗯,新版的Windows Live Writer 很给力，要我说的话就是可以拿出来见人了。用blogbus的都可以试一下，一定是比网页写舒服多了。 你可以在这里下载到最新的 Live Essentials 套件：http://explore.live.com/windows-live-essentials?os=other Vista用户可能会提示需要平台更新，如果出现这个提示得先确保已打好SP2补丁，你可以在开始&amp;amp;mdash;&amp;amp;mdash;计算机（右键）&amp;amp;mdash;&amp;amp;mdash;属性看到自己...

我准备先把上次那个V(m,n)的问题先放一放，先把第一次那个相邻两格点间等效电阻的问题来一个数值模拟。 上次得到的结果是，结点电压满足的方程是离散泊松方程。维基的页面列出了一个大型的代数方程组，不过这个理论意义大于实际意义了。对这种稀疏矩阵一般采用迭代法： 方程&amp;amp;#160; 迭代 &amp;amp;#160; 一个更好一点儿的迭代是利用上一次计算过的值，，或者使用超松弛迭代，这不...

接 上次，现在B点移到了(m,n)，求AB间等效电阻R[AB].

其实网络的基尔霍夫方程并不难列写，假设点 (k,L) 的电位为 V(k,L)，那么关于节点(k,L)的电流方程为



等号左边的四项就是从邻近的四个节点流入的电流大小，等号右边的 I(k,L) 为从节点(k,L)流出网络的电流，对(0,0)为 -I，对(m,n)为 +I，对其他节点为 0;

方程可以变形为 ...

上次 说了用一个不高于二次的多项式函数 y 去近似一个三次函数 g(x)=x^3，如何近似最好的问题。最好我们找到了 y=3x/4 它在[-1，1]上和 g(x) 的最大差值不超过 1/4 。往回看会发现这一点是来自于式子 ，这个式子很容易让人想到   ，实际上之前的证明就可以利用 x=cos(u) 换元来证明，4x^3-3x=cos(3u) 自然也是在 [-1,1] 之内的。

于是这一发现揭示了在次数更高的情况下，该如何处理这个问题：假如我们要用(k-1)次函数...

如图一个无穷方格网，每小段电阻r，求AB间等效电阻R[AB]。