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2012/01/27
生日快乐
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2011/10/27
f(f(x))=exp(-x)无连续解
定义在 R 上的函数 f 满足 f(f(x))=exp(-x) ,证明 f(x) 必定不在 R 上连续。
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2011/10/27
不等式之从平权到加权
有人问起了 Hardy 书上的东西,所以先写这个。   A-G不等式之前提起过两次了,在 这里 曾给出的调整法证明属于 Maclaurin,如你所见我用到了一些高级的工具来保证最大值确实在值域内,即值域最大的那头不是一个开的情况。这一步是必不可少的,这里的调整并不像“排序不等式”中所用的那样,是一个能断言有限步骤内完成的调整。每一次我们只是保持其它变元不动,把两个不同的变元拉平,但也许永远也不可能做到(也无法断言),按照某种调整法则,在某... -
2011/10/22
Ineq:x^y+y^x>1 以及Bernoulli不等式
好像是一个考研题,原题是 x,y>0,求证 x^y+y^x>1。很明显主要难点在于 0<x,y<1 的部分。
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2011/10/20
x^y=y^x 的有理数解
第一次看到这个东西是在高三,老师问 和它的反函数有几个交点,结果大家当然都被雷到了,实际上有 2^4=4^2=16 因此有 (1/4,1/2) 为其交点: 当然,这同时也就意味着在 y=x 的另一边,有着对称的一个交点 (1/2,1/4): 回到方程,我们先限定 x>0,y>0 容易有 x,y 实际上是 ... -
2011/10/13
【经典反例】柯西方程的不连续解、不连续的凸函数
果然是经久不衰的问题,最近又有人问了。两个问题的反例是一样的构造方法,就放在一起说了。要构造出反例,必须承认 选择公理 或 Zorn引理 ,从而当我们把 看成是 上的线性空间时,它允许我们选出无穷多个元素作为基底,使得每个实数都能写成 以有理数为系数 的有限个基底的线性组合,称为 Hamel基 。
不妨设 A 是 在 上的某 Hamel 基 ,于是
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2011/10/10
自然数方幂和(非初等)
像上次一样,记 Jakob Bernoulli 曾经非常系统地研究过这个问题,详尽并且正确。不同的是如果用我们的记法,他所探讨的是 中 x 的系数。 从初等解法中就能感觉到系数这必定组合数学有关,此处用到了这里提到过的生成函数,对于第一次听到这个词的人来说,你只需要把它当成一个不需要考虑收敛域的幂级数即可。 考虑这个形式幂级数 如果我们对 k 求和(从0到x-1)... -
2011/10/09
自然数方幂和(初等)
其实我也是记不住公式的人,比如三角函数中得积化和差,不过幸好我能记得两角和与两角差得公式,于是可以现写一个 sin(x+y) 与 sin(x-y) 展开后加加减减看看。 某一天的早上我突然收到一条短信,我没看懂她表达的意思但是后来我知道了她想问的是1到n的平方和公式: 这个问题可以有很多答案,而最简单的答案之一就是利用裂项:用两个相邻的立方数相减,可以得到 ...
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2011/10/07
《徒然王子》节选一
6 惟光的秘密
寻死的时候王子现身,并且还向自己搭话,这一定是上天的引导。惟光决定按照今日的约定,第二天也趁着朝阳升起的时候,赶在宫殿护城河边的慢跑道上等候铁人殿下。他去朋友家洗了个澡,换上寄存的演出服,离开了朋友家。他打算每天给王子表演一个节目。
对于惟光的表演,王子并没有什么兴趣,不过还是每个节目给了一百块的小费。惟光靠这点小费勉强生活,同时继续思考和练习为王子一个人表演的节目。王子是想通过晨跑寻找和市民非正式接触的机会,惟光碰巧得到了那份恩宠... -
2011/09/29
一个关于合同变换和外积的题
先放一个视频 是彭家贵的《微分几何》上得一个题,问题在这里被问过一次:http://zhidao.baidu.com/question/231276975.html?an=0&si=1&pt=monline_ik 说是“设T是E^3的一个合同变换,v和w是E^3的两个向量,求 T(v)^T(w) 和 T(v^w) 的关系。” ...
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2011/09/24
微分几何之说说曲率
一开始很不明白,为什么要用弧长s替换掉曲线原来的参变量t。后来想通了,其实这是在把一个“正则运动”(原谅我这么说)变成一个匀速率(更确切的说是速率为1)的曲线运动。 【这里采用和数学上一样的记法,对 t 求导用撇表示,而对 s 求导用点表示;尽管如此,我会尽量列出括号内的自变量。】 【当我说切向量时,就是在说速度;当我说速度时,就是在说切向量。】 对一般的正则曲线,可以认为参变量 t...
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2011/05/14
Ineq:简单的支撑线法(切线分析)
一般能用切线分析的都比较松,毕竟只是用了一阶导数
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2011/05/14
Ineq:简单的平衡取等(A.G配凑)
平衡取等才可以用,配的时候左边每一项都要一样大
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2011/05/08
Ineq:非平衡取等
proof:
Assum a=max{a,b,c}
取等条件为 a=2,b=1,c=0
kuing(友情链接里的最后一个)指出说可以加强到
此时取等条件多了一个(a,b,c)=(1,1,1),从他博客上偷来一个更舒服的办法:
Assum b介于a、c之间,
由这个不等式利用支撑线可以构造出... -
2011/05/08
不等式之开篇
可能接下来会整理一些遇到过的不等式,讨厌明明似曾相识却不能一眼识得的感觉。
买了哈代的书,只看了几页就收获颇丰。比如积分形式的Cauchy-Schwarz不等式,一般数分上都会采用离散——取极限——积分,这样的套路,从数学上讲固然是最自然的,可是对不等式而言,极限的保号性会丢失掉取等条件。如果 a>b 两边取极限之后只能得到 a>=b,你就无法知晓极限过程是否添加了不可知的取等条件——尽管事实上我们知道,取等条件并没有变。
有些事就是这... -
2011/05/05
量纲分析和相平面分析的运用
以这个微分方程作为例子
这个方程的解析解是很复杂的,可以放到wolfram算一下:http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%27%3D-y^3
不过用一些特殊的办法,我们一样可以了解到其解的性质。实际上这个方程有对应的物理模型的,想象一下一个质点被两根弹簧拉住,然后在水平方向作小幅度的振动,满足的就是这个方程。不过这里不仔细讲了,说一下右端的非齐次项也就是回复力,其中x^2来... -
2011/04/21
代数基本定理的应用——例证法
古典代数基本定理声称,一元复系数多项式至少有一个复根。这个定理很容易被“加强”为一个更常见的版本,若一个n次复系数多项式有一个根z1,那么它就有一个因式(z-z1),将其除掉之后,成为一个n-1次的多项式,而这个多项式又有一个根z2……反复利用该定理,也就得到:一元n次复系数多项式有且仅有n个复根(计入重根)。
和多项式理论结合在一起,这个定理确实能实在地帮助我们:如果一个次数至多为n次的多项式有n+1个零点,那么这个多项式只能是零多项式。
这一事... -
2011/04/09
数列通项的特征方程是怎么来的(补完)
作为上一篇的一个补完,讲一下等根的情况和共轭复根的情况。
先说明一下两件事,用向量把高阶的东西化成低阶的不是差分方程的独有的。
比如说常微分方程 ,其实写法和数列一样的——记
偏微分方程也一样可以的,比如波动方程 ,还是记 , 只是这时候是算子的矩阵
第二件事就是其实把这个矩阵对角化的... -
2011/04/04
数列通项的特征方程是怎么来的
不得不说我国的高中的数学教育就是牛逼,大部分人都早早地在中学就学会了二阶差分方程的求法。 高中就叫数列递推了,这次的主角就是它: 给定两个初值,然后同学们就立马 就出来了。。。所幸还知道这个叫特征方程,解出来的是特征值。 有一种想法还是不错的,就是已经会解一阶的了,其实就是等比数列嘛,然后就把二阶的想办法化成一阶的:,于是 容易看出来,s 和 r 就是它对应的特征根。注意两个初值在这里是不影响...
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2011/03/31
线性代数的应用之晶体对称性定律
背景知识:维基页面(晶体),维基页面(布拉维晶格),英文维基(点阵群)
晶格在数学中的抽象即为点阵(整点、格点构成的集合):
在三维空间中取一个坐标系 ,定义点阵为整数格点构成的集合:
定理(晶体对称性定律):设是 决定的点阵,过上一点,有直线L,若点阵绕L旋转使得变到自身,则旋转角只可能是 之一。
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2011/03/31
线性代数的应用之编码纠错
这个齐次线性的方程组能干吗?答案是实现纠一位错的功能。 考虑当合法的编码只能从上述方程组Hx=0的基础解系中取出,于是我们的码容量就是基础解系的个数=未知数个数-独立方程数=7-3=4 原本4个码只需要2比特的信息即可:(0,0)(0,1)(1,0)(1,1),而现在用了7个比特,正是用线性方程组为其赋予一定的结构,从而实现纠错。 我们看一下它如何纠错:假设原本发回的信息应该为x,即 Hx=0,... -
2011/03/30
用范数解一个老问题
背景知识: 1.在这里曾经讲过一个小引理:对不满秩的n阶方阵A,当k充分大时,A+kI 是满秩的。 2.向量的范数:维基页面(范数),维基页面(1范数),Charlesgao页面(无穷范数) 3.矩阵的诱导范数:维基页面(矩阵范数) 此处只用了一下定义 当时是用取行列式的方法,最近学了范数于是又想到了... -
2011/01/27
《GEB》读后随笔(下)
这是在两年前写的(上):http://yjq24.blogbus.com/logs/45860323.html 这是在两年前些的(中):http://yjq24.blogbus.com/logs/45897266.html 虽然很多事情我不是一个有始有终的人,但是其实我一直都没忘记要写“下”。 -
2010/12/05
变压器的自感与互感
如果有人和我曾有相同的疑惑,希望这篇文章能帮到你。 &#160; 1)磁链与磁通 有些教科书上是不说清楚的,磁通是 ,磁链是 ;磁通像电流一样贯穿空间,而磁链像电压一样是针对元器件两端而言的, 。 &#160; 2)电感 根据电磁场计算,电感的大小一般是和电感线圈的匝数的平方成正比,环绕面积成正比,和电感长度成反比, 。 ... -
2010/11/23
当理性遇到感性
理性人是经济学最有意思的模型之一,他们关心代价和效用,尽量以最少的代价换取最大的效用(亦即当边际成本=边际收益时)。就像理想气体与真实气体的关系一样,理性人是一种用以描述和预测人们行为的模型。然而有趣的是,这次被描述的是一个个具有主观能动性的个体,这多少激发起了一些人的“叛逆精神”,从而搬出感性大旗。
毫不避讳得说,每个人都有感性的部分,而且当两者起冲突时,大部分时候是感情战胜了理智。然而,认为理性人假设不合理的人也许没有注意到,感情... -
2010/11/22
用WLW来写blogbus吧
嗯,新版的Windows Live Writer 很给力,要我说的话就是可以拿出来见人了。用blogbus的都可以试一下,一定是比网页写舒服多了。 你可以在这里下载到最新的 Live Essentials 套件:http://explore.live.com/windows-live-essentials?os=other Vista用户可能会提示需要平台更新,如果出现这个提示得先确保已打好SP2补丁,你可以在开始&amp;mdash;&amp;mdash;计算机(右键)&amp;mdash;&amp;mdash;属性看到自己...
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2010/11/21
无穷方格网络的等效电阻(三)
我准备先把上次那个V(m,n)的问题先放一放,先把第一次那个相邻两格点间等效电阻的问题来一个数值模拟。 上次得到的结果是,结点电压满足的方程是离散泊松方程。维基的页面列出了一个大型的代数方程组,不过这个理论意义大于实际意义了。对这种稀疏矩阵一般采用迭代法: 方程&amp;#160; 迭代 &amp;#160; 一个更好一点儿的迭代是利用上一次计算过的值,,或者使用超松弛迭代,这不... -
2010/09/27
无穷方格网络的等效电阻(二)
接 上次,现在B点移到了(m,n),求AB间等效电阻R[AB].
其实网络的基尔霍夫方程并不难列写,假设点 (k,L) 的电位为 V(k,L),那么关于节点(k,L)的电流方程为
等号左边的四项就是从邻近的四个节点流入的电流大小,等号右边的 I(k,L) 为从节点(k,L)流出网络的电流,对(0,0)为 -I,对(m,n)为 +I,对其他节点为 0;
方程可以变形为 ... -
2010/09/22
一个函数逼近问题(加强版)
上次 说了用一个不高于二次的多项式函数 y 去近似一个三次函数 g(x)=x^3,如何近似最好的问题。最好我们找到了 y=3x/4 它在[-1,1]上和 g(x) 的最大差值不超过 1/4 。往回看会发现这一点是来自于式子 ,这个式子很容易让人想到 ,实际上之前的证明就可以利用 x=cos(u) 换元来证明,4x^3-3x=cos(3u) 自然也是在 [-1,1] 之内的。
于是这一发现揭示了在次数更高的情况下,该如何处理这个问题:假如我们要用(k-1)次函数... -
2010/09/16
无穷方格网络的等效电阻(一)
如图一个无穷方格网,每小段电阻r,求AB间等效电阻R[AB]。








